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フィボナッチ数列の計算量について

フィボナッチ数列の計算量について
お魚くわえたどら猫ではなく○○をくわえた子猫

Processingで学ぶ 実践的プログラミング専門課程

今回はその最終回として 「再帰」 を学習します。高校で数学を学習した人ならば, 数学的帰納法の名前は聞いたことがあるでしょう。数学的帰納法は再帰の一例です。マトリョーシカのように式が構成されます。私は, フィボナッチ数列の計算量について 数学的帰納法や再帰の概念が自分のものになるまでは, それらがまるで魔法のようで手をつけるのが恐ろしいような気がしたものでした。読者の皆さんがそんなふうに恐れて身を引いておられるならば, もったいないことです。是非, 今回の学習で便利さに気付き, 適切に活用しましょう。

再帰 (Recursion) とは, 再帰的な構造を持つアルゴリズムのことです。再帰的な構造とは, 自分自身の定義の中に, 自分自身を含む構造です。再帰の代表的な例として階乗やユークリッドの互除法の再帰的定義がよく用いられます。それぞれについて学習していきます。

階乗と数学的帰納法

整数 n の階乗は記号 ! を用いて n! と書きます。実際の計算は次のように行われます。

階乗のsketch。 Factorial. pde

右辺に ! が出てきましたね。 「 ⁠. 」 なんていう省略記号を用いずに, はっきり式を定義している再帰的定義のほうが美しいと思いませんか?

さて, 数学的帰納法を用いた証明問題で, 同じような構造の式を見たことがあるはずです。数学的帰納法とは次のような方法でした。

  1. 式 f(1) が成り立つことを示す。 f(1) を初期条件という。
  2. 任意の自然数 k に対して, f(k) ならば f(k + 1) が成り立つことを示す。
  3. 2.が成り立つならば, 任意の自然数 n について f(n) が成り立つといえる。これで数学的帰納法による証明おわり。

『教養としてのコンピュータ・ サイエンス』 ( ⁠渡辺治 著) に 「再帰の極意」 として紹介されていること (P. 59) が, この数学的帰納法についても同様に言えます。つまり, ひとつ後の式 フィボナッチ数列の計算量について f(k+1) が正しく実行されるために, 今の式 f(k) は正しく実行されると信じ込む, 疑わないことが大切です。こう言及すると, 何か詐欺でも働いているようですが, 再帰ならば最終的な条件, 数学的帰納法ならば初期条件をしっかり定義したのだから大丈夫なのです。どんどん進んで条件に打ち当たれば, その条件に定めた処理を実行するだけです。

[作業] 10の階乗を行うsketchを作成しましょう。(1)繰り返し構文を使ったメソッド, (2)フィボナッチ数列の計算量について 再帰するメソッド, この2通りのコードをひとつのsketchの中に書いてみましょう。

ユークリッドの互除法

ユークリッドの互除法も, 再帰を用いる代表的な例です。2つの正の整数 m と n についての最大公約数を求めるアルゴリズムです。 『 ⁠改訂C言語によるはじめてのアルゴリズム入門』 ( ⁠河西朝雄 著, P. 37) には次のように書かれています。

  1. 正の整数 m , n について。
  2. m と n が等しくない間、次の操作3.を繰り返す。
  3. m > n ならば m = m-n 、そうでないならば n = n-m
  4. m (または n ) フィボナッチ数列の計算量について が最大公約数である。
  1. 入力を m, n(m >= n) とする。
  2. n = 0 なら、 m を出力してアルゴリズムを終了する。
  3. m を n で割った余りを新たに n とし、更に元の n を新たに m とし2.に戻る。

sketch GCD_ General. pde 。再帰を用いずにユークリッドの互除法で最大公約数を求める。

  1. 2つの正の整数 m, n の最大公約数を求める。ただし, m < n の場合は m と n の値を交換してから関数を適用する。こののち関数を gcd(m,n) を呼ぶ。
  2. m と n が等しければ, m が最大公約数である。手順はこれで終了。
  3. m と n が等しくなければ, 新しい m の値を m-n とし, 手順1.に戻る。

[作業] GCD_ General. pde フィボナッチ数列の計算量について には, ある欠陥があります。アルゴリズムに条件として述べられている 「m,nが正の整数であること」 をチェックしていないのです。マウスポインタがディスプレイウインドウの 「ふち」 にちょうど重なると, ぴたっとsketchが動作を止めます。これは入力に0があったために無限ループに陥るからです。この欠陥を修正しましょう。

再帰を活用するメリットとデメリット

再帰を活用するメリットは, 「 ⁠ ( ⁠場合によっては) 問題をシンプルに記述できること」 です。しかし, 再帰は電子計算機で実行するアルゴリズムとしてはやっかいな問題, デメリットを抱えています。

そのデメリットを話す前に, フィボナッチ数列の計算量について 計算量の2つの種類について言及しておきます。計算量は 「時間計算量」 と 「空間計算量」 という2つに区別できます。時間計算量は, これまで何度か取り扱って来た計算量の考え方で, そのアルゴリズムの実行にどれだけ手数がかかるかを表す量です。これに対して空間計算量は, そのアルゴリズムの実行にどれだけの記憶容量が必要かを表す量です。

再帰のアルゴリズムは, 自分自身を1回呼ぶ度に, 自分自身を実行するために必要なメモリを用意します。再帰の回数が多くなれば, 必要なメモリ容量も多くなります。つまり, 再帰のアルゴリズムのデメリットとは空間計算量が大きくなることです。再帰のアルゴリズムは潤沢にメモリがあることを前提とした手段なのです。

かつて, コンピュータがごくわずかなメモリしか持っていなかった時代のプログラミング言語が, 再帰を言語の仕組みとして用意しなかった理由の一つは, 再帰が簡単にメモリを食いつぶす方法だったからでしょう。現在, パーソナルコンピュータのメモリは数ギガバイトを持つようになったため, この問題が大きく扱われることはあまりありません。ただ, 再帰を使ったプログラムによってはメモリを圧迫しますので, 利用にあたっては慎重になりましょう。

そのため, 再帰アルゴリズムを使用するべき場合とは, コードを劇的にシンプルにできる場合に限ると考えておくべきです。 「 ⁠劇的にシンプルにできる場合」 に気付き, フィボナッチ数列の計算量について 再帰を適用できるためには, あらかじめ再帰を使えるようになっている必要があります。ですから学習が必要なのです。

さらに学ぶために

実は, 前回までで学習したソートやサーチにおいて, 再帰が上手く活用されているアルゴリズムがあります。これらによってより実用的な再帰処理を学習できるのですが, 今回のテキスト分量としては大きくなりすぎると判断したので割愛します。再帰についてより深く学習したい方は, キーワード 「クイックソート」 フィボナッチ数列の計算量について 「 ⁠バイナリサーチツリー」 について調べてみましょう。

演習1 (難易度:easy)

フィボナッチ数について調査し, n 番目のフィボナッチ数を求めるsketchを書きましょう。再帰を用いない getFibonacciGeneral と再帰を用いる getFibonacciRecursive の2つのメソッドを書きましょう。sketchファイル名を GetFibonacci. pde としてください。

演習2 (難易度:middle)

マウスカーソルの座標値 x , y の最大公約数を求めるために, ユークリッドの互除法を再帰的に使ったsketchを書きましょう。 GCD_ General. pde を適宜変更してください。sketchの名前は GCD_ Recursive. pde としてください。

  • 再帰とその代表的なアルゴリズムを学習しました。
  • 再帰のメリットとデメリットを紹介しました。

学習の確認

それぞれの項目で, Aを選択できなければ, 本文や演習にもう一度取り組みましょう。

  1. 再帰の仕組みが理解できましたか?
    1. 理解できた。気持ちよく納得した。
    2. 理解できた。しかし, 今ひとつスッキリしない。
    3. 理解できない。
    1. 理解できた。気持ちよく納得した。
    2. 理解できた。しかし, 今ひとつスッキリしない。
    3. 理解できない。
    • 『改訂C言語によるはじめてのアルゴリズム入門』 ( ⁠河西朝雄 著, 技術評論社⁠ ) ⁠
      • アルゴリズムの入門書。入門者に取っては十分に辞書的な内容です。丁寧に解説された良書。
      • 大学1年生の教養科目としてのコンピュータ・ サイエンスの教科書。薄くて内容が精選されています。平易な文章と最低限の数式で構成されており, コンピュータ・ サイエンスがどんな学問分野なのか知りたい方にはおすすめします。P. 57から数頁ですが再帰についてマージソートを例に分かりやすく解説しています。

      [作業] 解答例のsketchには負の数が入力された場合のチェックはありません。このメソッドをより一般的に使えるものにするためにはチェックの必要があります。時間があれば取り組んでみてください。

      フィボナッチ数列と成長の仕組みについて

      フィボナッチ数列

      たった n=5 の場合でもかなり大変なことになっています。しかし、これくらいなら、最近のCPU演算能力による力技で何とかなるのです。では、これが n=40, n=50くらいになってくるとどうでしょう。さすがに厳しくなってきます。関数の呼び出しには実際の計算と関係のないオーバーヘッドがかかります。計算量より関数呼び出しにCPU処理時間が使われていて、その結果、答えを出すのにものすごく時間が必要になってしまうのです。

      「関数呼び出し」を減らそう

      先程のコードでは、関数呼び出しがボトルネックになっていましたので、アルゴリズムを少し改良してみます。

      改良したコードでは、一度計算した結果を data[] という配列に格納しています。こうすることで、fib2()そのものは一度しか呼び出されません。

      JavaScriptに限らず、配列参照は関数呼び出しに比べてコストがかからない処理なので、高速に実行されるというわけです。

      これでも良いのですが、もっといい方法はないのでしょうか?

      n番目のフィボナッチ数を求める公式がある

      なぜ、整数しかとるはずのないフィボナッチ数にルートが出てくるのかは、数学の奥深いところですが(※この数は「黄金比」に関係があります)、「一般式があるのだから、公式にしたがって関数をつくればいいのでは?」と思いますよね。

      プログラム言語の限界

      困難な問題でも、答えがあるということがわかれば対処策も必ず出てくる

      あなたは、ここにアクセスしてFibonacci(103)と入力するだけで必要なフィボナッチ数の答えを得ることができます。答えを得るだけなら、アルゴリズムのボトルネックをリファクタリングしたり、ゼロからコードを書く必要はまったくないのです。

      成長と進化の流れの行き着く先

      今回は数学の話でしたが、何かの問題を解決しようとするとき、1)自力でシンプルに解く、2)自力でシンプルな解法を改良する、3)もっとうまくやる人に依頼する、4)専門の道具を使う、という価値変化の流れがあります。人がやっていることはいずれ道具に必ず置き換わりますので、フィボナッチ数列同様、私たちも少しずつ「成長」していきたいものですね。

      【Webサービス開発の効率化】一瞬で好きなサイズや色でダミー画像を作れる『Dynamic Dummy Image Generator』と猫好きさん用『Placekitten』

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      先日はお世話になりました。m(._.)m
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      また、1つ1つの質問の回答が丁寧かつ分かりやすく、初心者の私でも理解でき、私の知らなかったことを沢山教えていただき感謝しています。
      ネットビジネスで困っている方はまず佐藤さんに相談すべきだと思います。
      またコンサルティング依頼しますので、その時はよろしくお願いいたします。

      再帰アルゴリズム

      再帰は、「n-1までが正しいと仮定したら、nの場合も正しいことを証明すれば、すべてのときに正しいといえる」という数学的帰納法と似た考え方です。nでの問題をn-1での結果を用いて解くアルゴリズムを考えればよいのです。
      そのため、再帰アルゴリズムを用いることには、次のような利点があります。
      ・アルゴリズムを発見しやすくなる。
      →プログラムが作りやすい。
      ・一般に、アルゴリズムが簡素になる。
      →プログラムの誤りが少なくなる。
      他人が読んでわかりやすいプログラムになる。
      このような利点を実感するために、代表例として、「ソート」と「ハノイの塔」を後述します。

      しかし、プログラムが簡潔であることは、必ずしも実行効率がよいことではありません。イのプログラムで f(5) をを実行するには、f(4),f(3),…,f(3) を実行しなければないません。関数を呼び出す回数が増加しますし、それらの結果を保存しておく必要があります。処理のための時間やメモリ容量は、むしろ増大してしまいます。その代表的な例として「フィボナッチ数列」を後述します。

      配列aを小さい順にソートすることを考えます。これまでに、n-1個までは既にソートされているとき、要素a[n] について考えます。
      1 2 フィボナッチ数列の計算量について 3 n-1 n
      ┌──┬──┬──┬──┬──┐┌──┐
      │10│20│40│50│60││a[i]│
      └──┴──┴──┴──┴──┘└──┘

      1. a[n] の値30を一時的にwに保管しておきます。
      2. 配列の先頭から順にa[i] ≧a[n] の間iをずらしていき、a[i] <a[n] となる個所iを見つけます。(図ではi=3)
      3. 要素i~n-1を右に1つずらして、i+1~nに入れます。このとき右のほうからずらさないと、データが消えてしまいます。
      4. a[n] の値を保管していたwの値を a[i] に入れます。

      ハノイの塔

      かなり難解な問題が再帰を用いることにより、非常に簡単になる例として、「ハノイの塔」があります。
      図のように、右の棒にn枚の円盤が積んであります。
      ・1回に1枚の円盤しか動かせない。
      ・小さい円板の上に大きい方の円盤を置いてはならない。
      の規則に従って,円盤をAからBに移動せよという問題です。

      プログラム 再帰を用いたプログラムは非常に簡単です。
      ここでは円盤の小さい順に円盤番号nをつけています。

      function hanoi(n, a, b, c) if (n==0) return;
      hanoi(n-1, a, c, b);
      document.write("フィボナッチ数列の計算量について 円盤" + n + ": " + a + " → " + b + "
      ");
      hanoi(n-1, c, b, a);
      >

      「hanoi(4, "左", "中", "右")」を実行した結果を示します。
      ア 円板1: 左 → 右
      イ 円板2: 左 → 中
      ウ 円板1: 右 → 中
      エ 円板3: 左 → 右
      オ 円板1: 中 → 左
      カ 円板2: 中 → 右
      キ フィボナッチ数列の計算量について 円板1: 左 → 右
      ク 円板4: 左 → 中
      ケ 円板1: 右 → 中 ─┐
      コ 円板2: 右 → 左 │
      サ 円板1: 中 → 左 │
      シ 円板3: 右 → フィボナッチ数列の計算量について 中 │n=3
      ス 円板1: 左 → 右 ─┐ │
      セ 円板2: 左 → 中 │n=2 │
      ソ 円板1: 右 → 中 ─┘ ─┘

      円盤がn個あるとき、1~n-1の円盤を一つの円盤であるとして、1~n-1の円盤をP、n番目の円盤をQとすれば、2個の円盤を移動することだと考えることができます。
      2つの円盤PとQがaの棒にあるとして、それをbの棒に正しく移動するには、次の3つの操作を行えばよいことは明白です(左中右などの物理的意味を排除するために、あえてa,b,cとします)。
      操作1:PをAからCへ移動
      操作2:QをAからBへ移動
      操作3:PをCからBへ移動

      hanoi(m, a, b, c) とは、aからbへ移動することだと定義すれば、document.write(~)がそれにあたります。
      そして、Pの移動とはn-1のときの移動のことですから、
      操作1:hanoi(n-1, a, c, b);
      操作3:hanoi(n-1, c, b, a);
      となります。

      フィボナッチ数列

      再帰による処理効率の低下の例(再帰を使うべきではない例)として有名なのがフィボナッチ数列です。フィボナッチ数列とは、
      1,1,2,3,5,8,13,21,…
      の数列で、1+1=2,1+2=3,2+3=5のように、直近の2つの数を加えたものです。それで、
      ┌1 (n=1のとき)
      F(n)=│1 (n=2のとき)
      └F(n-1) + F(n-2) (n≧3のとき)
      と定義できます。

      再帰を用いないならば、1つ前の数をx1,2つ前の数をx2として、プログラムf1にすることができます。
      function f1(n);
      if (n
      となります。

      再帰を用いたプログラムf2は、
      function f2(n);
      if (n
      となります。

      計算量を forループ のなかの3つで代表させるならば、f1での計算回数は、3n回です。
      それに対してf2の計算回数は、ほぼフィボナッチ数列での値と同じ程度の回数になります。
      nが大きい場合、例えばn=30のときでは、f2ならば90回なのに、f1では(n=30のフィボナッチ数は)832,040回になってしまいます。

      フィボナッチ数列とは

      フィボナッチ数列は、「2つ前の項と1つ前の項を足し合わせていくことでできる数列」のことです。数列は「1,1」から始まり、
      1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…
      と続いていきます。

      解いてみる


      このままでよさそうだが、
      遅えぇぇぇ
      40番目や100番目等後ろの値を取得するとき、処理が極端に遅くなる。
      ※実際、100番目を取得しようとして全然帰ってこなくて心折れた.

      動的計画法

      ※100番目の出力でもすごい速い!!

      動的計画法はなぜはやい?

      今回に関して言うならば、余計な計算をしていないからである。

      再帰の場合

      動的計画法の場合

      2種類の動的計画法

      • トップダウン:メモ化再帰、メモ化
      • ボトムアップ:分割統治法、漸化式ループ

      ※漸化式がわからない文系の諸君!!僕もです。余裕があれば別紙で解説します。
      ※一応画像を載せます(参考:https://juken-mikata.net/how-to/mathematics/recurrence-formula.html)

      ここで抑えるべきは、「前の頁に従う」って点だと思う。

      トップダウンについて

      トップダウンは、計算した結果を記録して、同じ数に関しては1度しか計算しないようにする方法である。
      上で紹介したコードが該当する。
      下記にも一度載せる。

      ロシアの黒海封鎖で数百万人餓死も=ウクライナ大統領

      商品 2022年06月09日 19:46

      ロシアの黒海封鎖で数百万人餓死も=ウクライナ大統領

      © Reuters. 6月9日、ウクライナのゼレンスキー大統領はテレビ演説で、ロシアが黒海の港を封鎖しており、数百万人が餓死する恐れがあると述べた。ルガンスク州リシチャンシクで5日撮影(20

      [キーウ(キエフ) 9日 ロイター] - ウクライナのゼレンスキー大統領は9日、ロシアが黒海沿いのウクライナの港を封鎖しているために数百万人が餓死する恐れがあると警告した。

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      三菱UFJフィナンシャル・グループ745.0-2.フィボナッチ数列の計算量について 9-0.39%
      ブイ・テクノロジー2,945.0-75.0-2.48%
      東芝5,669.0-45.0-0.79%
      みずほフィナンシャルグループ1,506.0-22.0-1.44%

      来週の相場で注目すべき3つのポイント:米FOMC、米中小売売上高、NY連銀製造業景気指数など

      国内外の注目経済指標:米FOMC会合で0.5ポイントの追加利上げ決定へ

      為替週間見通し:上昇一服か、0.5ポイントの米追加利上げは織り込み済み

      米国防長官が中国批判、領有権主張で「より威圧的、攻撃的」

      アングル:「職場はかまど」、インドの工場労働者を熱波が直撃

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